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STABILITÀ DI UN SISTEMA

IL concetto di stabilità di un sistema è la modellizzazione matematica di una situazione che sperimentiamo tutti i giorni. Nel linguaggio comune definiamo stabile un sistema che si trova in una sua condizione di equilibrio. Se esso viene sollecitato da un forzamento esterno oscilla intorno alla condizione di equilibrio. Se il sistema è stabile, le oscillazioni diminuiscono di ampiezza col passare del tempo finché il sistema ritorna nella sua condizione di equilibrio oppure l’ampiezza delle oscillazioni rimane costante nel tempo. Se il sistema è instabile, l’ampiezza delle oscillazioni cresce e il sistema non ritornerà più nella sua condizione di equilibrio.

il sistema meccanico in figura è un sistema stabile. Terminata la sollecitazione esterna, la molla continua ad oscillare con ampiezze sempre più piccole fino ad arrestarsi alla posizione di partenza. Se immaginiamo di eliminare ogni forma di attrito o di dissipazione energetica, la mola tenderà invece ad oscillare introno al punto di equilibrio indefinitamente. Nella figura successiva il caso a rappresenta un esempio di sistema stabile, il caso b rappresenta un esempio di sistema instabile che si allontanerà sempre di più dalla condizione di equilibrio.

IN generale la stabilità è definita considerando l’evoluzione libera dello stato ( a forzamento nullo).

Stabilità

Diremo il sistema stabile se, qualunque sia il valore delle condizioni iniziali, la risposta libera dello stato si mantiene limitata entro un certo valore. Per esprimere rigorosamente tal concetto diciamo che, qualunque sia il valore delle condizioni iniziali troviamo sempre un numero M>0 (il valore di M dipende dal valore delle condizioni iniziali) tale che

                                               || x(t) || <M  per ogni t>0

il sistema della molla senza condizioni di attrito che continua ad oscillare indefinitamente è un esempio di sistema stabile.

Stabilità asintotica

Un sistem sarà asintoticamente stabile se la risposta libera dello stato tende a zero al tendere del tempo ad infinito, qualunque sia la condizione iniziale

Un esempio di asintotica stabilità è costituito dalla pallina nella cunetta della figura precedente. Essa avrà oscillazioni sempre più piccole fino ad arrestarsi nella posizione di equilibrio iniziale.

Per studiare la stabilità di un sistema si può passare attraverso l’analisi dell’uscita dello stesso. Dalla descrizione formale dei sistemi ci siamo, infatti, resi conto che l’uscita è funzione dello stato. A voler essere rigorosi ciò non è sempre vero. Infatti è teoricamente possibile che lacune variabili di stato non influenzino l’uscita. Si dice precisamente che esse non sono osservabili. In tal caso esse potrebbero avere un evoluzione tale da classificarle come instabili, ma questo non sarebbe ricavabile dall’osservazione dell’uscita.

 

 

                        

 

 

Casella di testo: R3

 

 

 

 

In questo circuito introduciamo la variabile di stato X1 corrispondente alla tensione ai capi del condensatore, la variabile X2 costituita dall’uscita del secondo operazionale, la variabile di uscita Y costituita dall’uscita del primo operazionale.  Dall’analisi del circuito ricaviamo che l’uscita deriva soltanto dalla variabile di stato x1 mentre l’evoluzione della variabile di stato X2 non è osservabile. Ciò nonostante essa può divergere con l’effetto pratico di  distruggere il circuito.

Tenuto presente che vi possono essere queste eccezioni teoriche, affermiamo di  volere analizzare la stabilità del sistema attraverso l’andamento dell’uscita.

Affermiamo che un sistema è stabile se la sua funzione di trasferimento non presenta poli a parte reale positiva e gli eventuali poli a parte reale nulla sono semplici.

Un sistema è asintoticamente stabile se la sua funzione di trasferimento presenta soltanto poli a parte reale negativa.

Dimostriamo questa affermazione direttamente con degli esempi.

  1. dobbiamo studiare un sistema descritto dalla seguente equazione

y’’(t) + 2y’(t) + y(t) = sca(t)

y’(0) = 1

y(0) = 1

Trasformiamo secondo Laplace

s2Y(s) – s – 1 +2*(sY(s) – 1) + Y(s) =

 

Y(s)*(s2 + 2s + 1) =  + s + 3

Casella di testo: Risposta
libera
Casella di testo: Risposta
forzata
Y(s) =

 

osserviamo che la funzione di trasferimento o risposta impulsiva ha gli stessi poli della risposta libera. E’ quest’ultima che c’interessa. Essa presenta un polo di molteplicità due, reale e negativo p = -1

A = =

==1

B= =

==2

Antitrasformando

yL(t) = e-t + 2te-t

al polo negativo corrispondono due esponenziali ad esponente negativo che si estingueranno per t. Abbiamo dunque un comportamento asintoticamente stabile.

Il diagramma seguente mostra l’andamento dell’uscita.

  1. dobbiamo studiare un sistema descritto dalla seguente equazione

y’’(t) - 2y’(t) + y(t) = sca(t)

y’(0) = 1

y(0) = 5

Trasformiamo secondo Laplace

s2Y(s) – s – 5 - 2*(sY(s) – 1) + Y(s) =

 

Y(s)*(s2 - 2s + 1) =  + s +3

Casella di testo: Risposta
libera
Casella di testo: Risposta
forzata
Y(s) =

 

 

osserviamo che la funzione di trasferimento o risposta impulsiva ha gli stessi poli della risposta libera. E’ quest’ultima che c’interessa. Essa presenta un polo di molteplicità due, reale e positivo p = +1

A = =

==1

B= =

== 4

Antitrasformando

yL(t) = et + 4tet

al polo positivo corrispondono due esponenziali ad esponente positivo che si estingueranno per t. Abbiamo dunque un comportamento instabile.

Il diagramma seguente mostra l’andamento dell’uscita.

  1. supponiamo che la risposta libera del nostro sistema sia la seguente

YL(s) =

s = = 1  =  1 i4

abbiamo due poli complessi coniugati con parte reale positiva

YL(s) =

A =  ===

B =  ===

YL(s)=

Antitrasformiamo

y(t) =  =et

moltiplichiamo e dividiamo per 2i in modo da sfruttare le equazioni di Eulero

y(t) = et =et = et = etsen4t

la risposta libera è un segnale oscillante la cui ampiezza viene esaltata dall’esponenziale positivo. Abbiamo dunque un sistema instabile

 

4. consideriamo ora un sistema con la seguente risposta libera

YL(s) =

Abbiamo dunque un polo a parte reale nulla con molteplicità due e dimostriamo che è instabile

y(t) = t2

 

 

 

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